Question

4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{a}{b}$=$\frac{1+cosA}{cosC}$．
（1）求角A；
（2）若a=1，设边BC的高线为AD，求AD的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，由A的范围和特殊角的三角函数值求出A；
（Ⅱ）由三角形的面积公式和面积相等表示出AD，由正弦定理和诱导公式求出b、c，代入AD利用二倍角的正弦公式化简，由正弦函数的性质求出AD的最大值．

解答 解：（1）∵$\frac{a}{b}=\frac{1+cosA}{cosC}$，∴acosC=b+bcosA，
由正弦定理得，sinAcosC=sinB+sinBcosA，
∵B=π-（A+C），∴sinB=sin（A+C），
代入得，sinAcosC=sin（A+C）+sinBcosA，
cosAsinC+sinBcosA=0，则cosA（sinC+sinB）=0，
∵sinC＞0、sinB＞0，∴cosA=0，则A=$\frac{π}{2}$；
（2）由（1）和条件得，△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}a•AD$，
∴bc=a•AD，又a=1，则AD=bc，
由正弦定理得，$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{1}{1}=1$
∴b=sinB，c=sinC=cosB，
∴AD=bc=sinBcosB=$\frac{1}{2}$sin2B，
当2B=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{4}$时，sin2B最大为1，
即此时AD取到最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，二倍角及两角和的正弦公式，考查化简、变形能力，属于中档题．