Question

下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为f（n）．

（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；

（2）找出f（n）与f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式；

（3）求证：（n∈N^*）．

Answer 1

考点：

归纳推理．

专题：

探究型．

分析：

（1）由图分别求出f（2），f（3），f（4），f（5）．

（2）根据（1）的几个数值，归纳出f（n）的表达式．

（3）利用归纳的f（n）的表达式，将数列进行化简求和，然后利用归纳法证明不等式．

解答：

解：（1）由题意有f（1）=3，f（2）=f（1）+3+3×2=12，

f（3）=f（2）+3+3×4=27，f（4）=f（3）+3+3×6=48，f（5）=f（4）+3+3×8=75．                                            …（2分）

（2）由题意及（1）知，f（n+1）=f（n）+3+3×2n=f（n）+6n+3，…（4分）

即f（n+1）﹣f（n）=6n+3，

所以f（2）﹣f（1）=6×1+3，

f（3）﹣f（2）=6×2+3，

f（4）﹣f（3）=6×3+3，

…f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1）+3，…（5分）

将上面（n﹣1）个式子相加，

得：f（n）﹣f（1）=6[1+2+3+…+（n﹣1）]+3（n﹣1）==3n²﹣3…（6分）

又f（1）=3，所以f（n）=3n²．                   …（7分）

（3）∵f（n）=3n²

∴．           …（9分）

当n=1时，，原不等式成立．       …（10分）

当n=2时，，原不等式成立．  …（11分）

当n≥3时，==，原不等式成立．                …（13分）

综上所述，对于任意n∈N*，原不等式成立．        …（14分）

点评：

本题的考点是归纳推理以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较，强运算量较大．