Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点，是上的点.

（1）若平面，证明：平面.

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）因为，利用线面平行的判定定理可证出平面，利用点线面的位置关系，得出和，由于底面，利用线面垂直的性质，得出

，且，最后结合线面垂直的判定定理得出平面，即可证出平面.

（2）由（1）可知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，标出点坐标，运用空间向量坐标运算求出所需向量，分别求出平面和平面的法向量，最后利用空间二面角公式，即可求出的余弦值.

（1）证明：因为，平面，平面，

所以平面，

因为平面，平面，所以可设平面平面，

又因为平面，所以.

因为平面，平面，

所以，从而得.

因为底面，所以.

因为，所以.

因为，所以平面.

综上，平面.

（2）解：由（1）可得，，两两垂直，以为原点，，，所在

直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，所以，

则，，，，

所以，，，.

设是平面的法向量，

由取

取，得.

设是平面的法向量，

由得

取，得，

所以，

即的余弦值为.