Question

【题目】若一个三角形的边长与面积都是整数，则称为“海伦三角形”；三边长互质的海伦三角形，称为“本原海伦三角形”；边长都不是3的倍数的本原海伦三角形，称为“奇异三角形”.

（1）求奇异三角形的最小边长的最小值；

（2）求证：等腰的奇异三角形有无数个；

（3）问：非等腰的奇异三角形有多少个？

Answer 1

【答案】（1）5；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）设、、()是一个奇异三角形的三边长.则由海海伦公式知

. ①

因为，所以，、、中至少有一个为奇数.如果、、中有奇数个奇数，则、、、都是奇数，与式①矛盾.

因此，、、中恰有两个为奇数.

若，由，知.

因为，所以，.

此时，、、中有奇数个奇数，矛盾.

若，由，知.

因为，所以，或.

当时，，，因此，.

但，矛盾.

当时，、一奇一偶.

故、、中恰有一个奇数，矛盾.

若，则、都是奇数.

由，知.

又，于是，或.

当时，，，所以，为偶数.

令.则，.

但，于是，，，故，矛盾.

当时，，所以，.令，则.

若，则，与奇异三角形矛盾.若，则，也与奇异三角形矛盾.

综上所述，.

又（5，5，8）是奇异三角形，故奇异三角形的最小边长的最小值为5.

（2）若、，，、一奇一偶，则是奇异三角形.

事实上，为整数.

其次，因、一奇一偶，则.

故.

最后，因为，且，故、中恰有一个是3的倍数，所以，、都不是3的倍数.

特别地，取，.则是奇异三角形.

类似知，若、，，，，、一奇一偶，则是奇异三角形.

特别地，取，，则是奇异三角形.

（3）非等腰的奇异三角形亦有无数个.

取，令，，.

因为为奇数，所以，、、为整数，且显然有.

又因为不是3的倍数，所以，、、都不是3的倍数.

最后，由于，于是，、都不是5的倍数，进而，由，知.

经计算可得为整数.

所以，（、、）是非等腰奇异三角形.