Question

如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)求△ABP的面积取最大时直线l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)y＝－． 　　解析：(Ⅰ)由题：；(1) 　　左焦点(－c，0)到点P(2，1)的距离为：．(2) 　　由(1)(2)可解得：． 　　∴所求椭圆C的方程为：． 　　(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0． 　　∵A，B在椭圆上， 　　∴． 　　设直线AB的方程为l：y＝－(m≠0)， 　　代入椭圆：． 　　显然． 　　∴－＜m＜且m≠0． 　　由上又有：＝m，＝． 　　∴|AB|＝||＝＝． 　　∵点P(2，1)到直线l的距离为：． 　　∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|， 　　当|m＋2|＝，即m＝－3or；m＝0(舍去)时，(SABP)max＝． 　　此时直线l的方程y＝－．