Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F₁、F₂，P为以F₁、F₂为直径的圆上异于F₁、F₂的动点，直线PF₁、PF₂分别交椭圆C于M、N和D、E．
（1）证明：

AP

•

BP

为定值K；
（2）当K=-2时，问是否存在点P，使得四边形DMEN的面积最小，若存在，求出最小值和P坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，知c²=a²-（a²-1）=1，F₁（-1，0），F₂（1，0），设P（cosθ，sinθ），能证明

AP

•

BP

=K（定值）．
（2）当K=-2时，椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1．设DE：y=k（x+1），代入

x2

3

+

y2

2

=1，得（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0，设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则|DE|=

k2+1

|x1-x2|  =

4 3 • k2+1

2+3k2

．由DE⊥MN，同理，得：|MN|=

4 3 [(- 1 k )2 +1]

2+3(- 1 k )2

=

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

．由此能求出四边形DMEN的面积最小值和此时P点坐标．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，
∴c²=a²-（a²-1）=1，
∴C=1，F₁（-1，0），F₂（1，0），
∵P为以F₁、F₂为直径的圆上，
即P是圆心为（0，0），半径为1的圆上一点，
∴设P（cosθ，sinθ），
∵A（-a，0），B（a，0）
∴

AP

=(cosθ+a，sinθ)，

BP

=(cosθ-a，sinθ)，
∴

AP

•

BP

=（cosθ+a，sinθ）•（cosθ-a，sinθ）
=cos²θ-a²+sin²θ
=1-a²
=K（定值）．
（2）当K=-2时，1-a²=-2，a²=3，
椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
设DE：y=k（x+1），代入

x2

3

+

y2

2

=1，消去y，得
（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0，
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则

x1+x2=- 6k2 2+3k2 x1x2= 3k2-6 2+3k2

，
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3 •  k2+1

3k2+2

，
∴|DE|=

k2+1

|x1-x2|  =

4 3 • k2+1

2+3k2

．
∵P为以F₁、F₂为直径的圆上异于F₁、F₂的动点，
∴PF₁⊥PF₂，∴DE⊥MN，
∴设MN：y=-

1

k

(x+1)．
同理，得：
|MN|=

4 3 [(- 1 k )2 +1]

2+3(- 1 k )2

=

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

．
∴四边形DMEN的面积
S=

|DE|•|MN|

2

=

1

2

•

4 3 (k2+1)

2+3k2

•

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

，
令u=k2+

1

k2

，得S=

24(2+u)

13+6u

=4-

4

13+6u

，
∵u=k2+

1

k2

≥2，
∴当k=±1时，u=2，S=

96

25

．
故四边形DMEN的面积最小值为

96

25

，此时P点坐标为（0，±1）．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．