题目内容
如图，椭圆C：
(a＞b＞0)的离心率为
，其左焦点到点P(2，1)的距离为
．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求
ABP的面积取最大时直线l的方程．
【答案】
(Ⅰ) 
；(Ⅱ)
．
【解析】(Ⅰ)由题：
； (1)
左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：
． (2)
由(1) (2)可解得：
．∴所求椭圆C的方程为：．
(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝
x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．
∵A，B在椭圆上，
∴
．
设直线AB的方程为l：y＝﹣
(m≠0)，
代入椭圆：
．
显然
．
∴﹣
＜m＜且m≠0．
由上又有：
＝m，
＝
．
∴|AB|＝
|
|＝
＝
．
∵点P(2，1)到直线l的距离为：
．
∴S
ABP＝d|AB|＝
，其中﹣＜m＜且m≠0．
利用导数解：令
，
则
当m＝
时，有(SABP)max．
此时直线l的方程
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如图，椭圆
(a＞b＞0)的离心率为
，其左焦点到点P(2，1)的距离为
．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(a＞b＞0)的离心率为
，其左焦点到点P(2，1)的距离为
．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
ABP的面积取最大时直线l的方程．
(a＞b＞0)的离心率为
，其左焦点到点P(2，1)的距离为
．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
ABP的面积取最大时直线l的方程．