Question

如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．

Answer 1

【解析】

(Ⅰ)由题：； (1)

左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：． (2)

由(1) (2)可解得：．

∴所求椭圆C的方程为：．

(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)，R(x₀，y₀)．其中y₀＝x₀．

∵A，B在椭圆上，

∴．

设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)，

代入椭圆：．

显然．

∴﹣＜m＜且m≠0．

由上又有：＝m，＝．

∴|AB|＝||＝＝．

∵点P(2，1)到直线l的距离为：．

∴S_ABP＝d|AB|＝|m＋2|，

当|m＋2|＝，即m＝﹣3  or  m＝0(舍去)时，(S_ABP)_max＝．

此时直线l的方程y＝﹣．

【答案】 (Ⅰ) ；(Ⅱ) y＝﹣．