Question

19．线段A₁A₂、B₁B₂分别是已知椭圆的长轴和短轴，F₂是椭圆的一个焦点（|A₁F₂|＞|A₂F₂|），若该椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，则∠A₁B₁F₂等于（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 120°
• D． 90°

Answer 1

分析 做出相应图形，利用椭圆的简单性质得出A₁B₁²+B₁F₂²=A₁F₂²，根据勾股定理判断得出∠A₁B₁F₂的度数即可．

解答 解：如图所示，A₁F₂=a+c，A₁B₁²=a²+b²，B₁F₂=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=a，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，a+c=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a，
∴A₁B₁²+B₁F₂²=2a²+b²=3a²-c²=3a²-$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$a²=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$a²，A₁F₂²=（a+c）²=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$a²，
∴A₁B₁²+B₁F₂²=A₁F₂²，
则∠A₁B₁F₂=90°，
故选：D．

点评 此题考查了椭圆的简单性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．