Question

平面坐标系中，A，B坐标为A（-3，0），B（3，0），点P（x，y）满足|PA|=2|PB|．
（1）求点P的轨迹方程C；
（2）如果过A的一条直线l与C交于M，N两点，且MN=6，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）由A、B及P的坐标，根据|PA|=2|PB|，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后即可得到C的方程；
（2）由C的方程找出圆心坐标和半径r，再由弦长MN，利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离，设直线l的斜率为k，由A的坐标与k表示出直线l的方程，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出直线l的方程．

解答：解：（1）∵A（-3，0），B（3，0），点P（x，y）满足|PA|=2|PB|，
∴

(x+3)2+y2

=2

(x-3)2+y2

，
整理得：（x-5）²+y²=16，
∴点P的轨迹方程C为（x-5）²+y²=16；
（2）∵弦长MN=6，半径r=4，
∴圆心（5，0）到l距离d=

42-( 6 2 )2

=

7

，
设直线l的斜率为k，则有直线l为y=k（x+3）=kx+3k，
∴

|8k|

k2+1

=

7

，
解得：k=±

399

57

则直线l的方程为y=±

399

57

（x+3）．

点评：此题考查了圆的标准方程，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及直线的点斜式方程，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．