Question

不等式|x-1|+|x+2|≤a+

2

a

，（a＞1）的解集不是空集，则实数a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由条件利用绝对值三角不等式求得|x-1|+|x+2|的最小值为3，可得 a+

2

a

≥3，由此求得a的最小值．

解答： 解：∵|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，故|x-1|+|x+2|的最小值为3．
再根据不等式|x-1|+|x+2|≤a+

2

a

，（a＞1）的解集不是空集，
可得 a+

2

a

≥3．
由 a+

2

a

=3，得a=2．再由f（a）=a+

2

a

在（

2

，+∞）是增函数，可得a的最小值为2，
故答案为：2．

点评：本题主要考查绝对值三角不等式的应用，函数的能成立问题，属于基础题．