Question

2．已知向量$\overrightarrow a=（\frac{1}{2}，\;\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）$和向量$\overrightarrow b=（1，f（x））$，且$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有$f（2A-\frac{π}{6}）$=1，$BC=\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据向量平行的坐标关系求出f（x）的解析式，化简成为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质求其最大值．
（2）利用$f（2A-\frac{π}{6}）$=1，求出A的角的大小，在结合余弦定理，利用三角函数的图象和性质求其最大值．

解答 解：（1）由题意$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$：
可得：$\frac{1}{2}f（x）=\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx$
?$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$
f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{1}=2π$
sinx的图象和性质可知：sin（x+$\frac{π}{3}$）的最大值是1，
∴$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$的最大值是2．
所以：函数f（x）的最小正周期为2π，最大值为2．
（2）由（1）可知$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$．
∵$f（2A-\frac{π}{6}）$=1，得：$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，
∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，
解得：$A=\frac{π}{3}$．
又∵$BC=\sqrt{3}$，即$a=\sqrt{3}，{a^2}={b^2}+{c^2}-2bc•cosA$，
∴b²+c²-bc=3，
又∵b²+c²≥2bc（当且仅当b=c时取等号），
则有：3+bc≥2bc，
∴bc≤3，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bc•sinA≤\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，
所以：△ABC面积的最大值为：$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了向量平行的坐标关系，三角函数的图象和性质的运用，余弦定理及基本不等式，覆盖知识点多，属于中档题．