Question

如图，已知椭圆C：，经过椭圆的右焦点F且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．
（I）是否存在，使对任意，总有成立？若存在，求出所有的值；
（II）若，求实数的取值范围．

Answer 1

故存在，使,

解：（1）椭圆C：
直线AB：y＝k（x－m）,
，（10k²＋6）x²－20k²mx＋10k²m²－15m²＝0．
设A（x₁, y₁）、B（x₂,y₂）,则x₁＋x₂＝，x₁x₂＝
则x_m＝
若存在，使为ON的中点，∴．
∴，
即N点坐标为．
由N点在椭圆上，则
即5k⁴－2k²－3＝0．∴或（舍）．
故存在，使．
（2）＝x₁x₂＋k²（x₁－m）（x₂－m）
＝（1＋k²）x₁x₂－k²m（x₁＋x₂）＋k₂m²
＝（1＋k²）·
由得
即k²－15≤－20k²－12，且k≠0．