Question

设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，则数列{a_n}的前n项和为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：本题可根据已知条件构造新数列，由新数列的通项公式得到数列{a_n}的通项公式，再对数列{a_n}用进行分组求和的方法求和，得到本题结论．

解答： 解：∵a_n+1=4a_n-3n+1，
∴a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），
∵a₁=2，
∴a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是以1为首项，公比为4的等比数列．
∴an-n=1×4n-1=4^n-1．
即an=4n-1+n．
∴Sn=(1+1)+(4+2)+(42+3)++(4n-1+n)
=（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n）
=

1(1-4n)

1-4

+

n(n+1)

2

=

n(n+1)

2

+

4n-1

3

．
故应填

n(n+1)

2

+

4n-1

3

．

点评：本题考查了等比数列的定义、通项公式及前n项和公式，用到了构造新数列的办法求通项公式，还用了分组求和的方法求前n项的和．本题有一定的维度，属于中档题．