题目内容

一个盒子内装有6张卡片，每张卡片上分别写有如下6个定义在R上的函数：f（x）=sinx，g（x）=cosx，h（x）=xcosx，k（x）=x⁴，l（x）=x⁵，m（x）=x³sinx．
（I）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得函数既不是奇函数又不是偶函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．

解：（I）6张卡片中有3奇3偶，记“从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得函数既不是奇函数又不是偶函数”为事件A，则P（A）= $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）由题设知ξ可取1，2，3，4，
P（ξ=1）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（ξ=2）= $\text{[math]}$ ，
P（ξ=3）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=4）= $\text{[math]}$ ，
∴ξ 的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

数学期望Eξ=1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）设A表示“从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加，所得的新函数既不是奇函数又不是偶函数”，由f（x）=sinx是奇函数，g（x）=cosx是偶函数，h（x）=xcosx是奇函数，k（x）=x⁴是偶函数，l（x）=x⁵是奇函数，m（x）=x³sinx是偶函数，即可求得概率．
（Ⅱ）由题设知ξ可取1，2，3，4，分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4）的值，由此能求出抽取次数ξ的分布列和数学期望．
点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差，解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用