Question

19．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，解关于m的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x-1|＜8，
可化为①$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{3}{2}}\\{-2x-3-2x+1＜8}\end{array}\right.$或②$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{2x+3-2x+1＜8}\end{array}\right.$或③$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x+3+2x-1＜8}\end{array}\right.$，…（3分）
解①得-$\frac{5}{2}$＜x＜-$\frac{3}{2}$，解②得-$\frac{3}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，解③得$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$，
综合得：-$\frac{5}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$，即原不等式的解集为{x|-$\frac{5}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$}．…（5分）
（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x-1|≥|（2x+3）-（2x-1）|=4，
当且仅当-$\frac{3}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$时，等号成立，即f（x）_min=4，…（8分）
又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤-$\frac{5}{3}$或m≥1．…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．