题目内容
若P（x0，y0）在椭圆
+
=1外，过P做椭圆的两条切线切点为P1，P2，求切点弦P1P2所在的直线方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：首先求出过椭圆上任意一点的切线方程，得到过椭圆的两条切线切点为P1，P2的切线方程，结合两直线均过
P（x0，y0），可得
+
=1，
+
=1．由此说明P1（x1，y1），P2（x2，y2）均在直线
+
=1上．即可得到切点弦P1P2所在的直线方程．
P（x0，y0），可得
| x1x0 |
| a2 |
| y1y0 |
| b2 |
| x2x0 |
| a2 |
| y2y0 |
| b2 |
| x0x |
| a2 |
| y0y |
| b2 |
解答：
解：设M（m，n）为椭圆
+
=1上一点，
当M在x轴上方时，
由
+
=1，得y=
，y′=-
•
，
过M点的椭圆的切线的斜率k=y′|x=m=-
•
=-
•
．
由点斜式得：y-n=-
•
(x-m)，
b2mx+a2ny=b2m2+a2n2=a2b2，
即
+
=1．
当M点是椭圆与x轴的两交点时，上式显然成立，
当M在x轴下方时，由对称性可知过M点的椭圆的切线的方程为
+
=1．
综上可知，过M点的椭圆的切线的方程为
+
=1．
再设P1（x1，y1），P2（x2，y2），
由上可知，过P1的切线方程为
+
=1，
过P2的切线方程为
+
=1．
又两切线均过P（x0，y0），
∴
+
=1，
+
=1．
说明P1（x1，y1），P2（x2，y2）均在直线
+
=1上．
∵过两点的直线唯一，
∴切点弦P1P2所在的直线方程为：
+
=1．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
当M在x轴上方时，
由
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b |
| a |
| a2-x2 |
| b |
| a |
| x | ||
|
过M点的椭圆的切线的斜率k=y′|x=m=-
| b |
| a |
| m | ||||
|
| b2 |
| a2 |
| m |
| n |
由点斜式得：y-n=-
| b2 |
| a2 |
| m |
| n |
b2mx+a2ny=b2m2+a2n2=a2b2，
即
| mx |
| a2 |
| ny |
| b2 |
当M点是椭圆与x轴的两交点时，上式显然成立，
当M在x轴下方时，由对称性可知过M点的椭圆的切线的方程为
| mx |
| a2 |
| ny |
| b2 |
综上可知，过M点的椭圆的切线的方程为
| mx |
| a2 |
| ny |
| b2 |
再设P1（x1，y1），P2（x2，y2），
由上可知，过P1的切线方程为
| x1x |
| a2 |
| y1y |
| b2 |
过P2的切线方程为
| x2x |
| a2 |
| y2y |
| b2 |
又两切线均过P（x0，y0），
∴
| x1x0 |
| a2 |
| y1y0 |
| b2 |
| x2x0 |
| a2 |
| y2y0 |
| b2 |
说明P1（x1，y1），P2（x2，y2）均在直线
| x0x |
| a2 |
| y0y |
| b2 |
∵过两点的直线唯一，
∴切点弦P1P2所在的直线方程为：
| x0x |
| a2 |
| y0y |
| b2 |
点评：本题考查了直线与椭圆的关系，考查了椭圆的切点弦方程的求法，训练了统一法求曲线的方程，是压轴题．
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