Question

已知x，y∈R，2x+3y=13，则x²+y²+1的最小值为

 

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Answer 1

分析：解法1：利用解析几何的性质可知3x+y=10表示直线的方程，则x²+y²表示直线上的点到原点的距离，推断出原点到直线3x+y=10距离为直线的点到原点的最短距离，最后利用点到直线的距离求得问题的答案．
解法2：欲求x²+y²的最小值，根据它与条件的结构特点，考虑利用柯西不等式解决．

解答：解法1：根据解析几何的性质可知，2x+3y=13表示直线的方程，
则x²+y²表示直线上的点到原点的距离的平方，
由于原点到直线2x+3y=13距离为直线的点到原点的最短距离，
故x²+y²的最小值为（

|-13|

4+9

）²=13，
则x²+y²+1的最小值为14；
解法2：因为2x+3y=13，
所以利用柯西不等式得
（x²+y²）（2²+3²）≥（2x+3y）²，
即13（x²+y²）≥13²，
即x²+y²≥13，
当且仅当

3x=2y 2x+3y=13

即

x=2 y=3

时取等号，
即x²+y²的最小值为13．
则x²+y²+1的最小值为14．
故答案为：14

点评：本题主要考查了点到直线的距离的应用，曲线方程与不等式的综合．考查了学生数形结合的思想的应用．要求学生尝试利用多种方法来解题，培养了学生一题多解的能力．