Question

设f(x)=ax²+bx+c(a≠0)，当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1,求证：|f(2)|≤8.

Answer 1

思路分析：本题可巧妙运用绝对值定理，对函数值进行放缩，注意到f(2)=4a+2b+c,故先求|a|,|b|,|c|的范围，从而求出|f(2)|≤8.

证明：由题设，知|f(0)|≤1,∴|c|≤1.①

又∵2b=f(1)-f(-1),

∴|2b|=|f(1)-f(-1)|≤|f(1)|+|f(-1)|≤2.

∴|b|≤1.②

∵2a=f(1)+f(-1)-2c,

∴|2a|=|f(1)+f(-1)-2c|≤|f(1)|+|f(-1)|+2|c|≤4,

∴|a|≤2.③

由①②③，得|f(2)|=|4a+2b+c|=|f(1)+3a+b|

≤|f(1)|+3|a|+|b|≤1+6+1=8.得证.