题目内容
设f(x)=
，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同．
| ax2+bx |
分析：由于函数解析式中，被开方式是一个类一元二次式，故我们可分a=0，a＞0和a＜0，三种情况，分别分析是否存在正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同，进而综合讨论结果，即可得到答案．
解答：解：（1）若a=0，则对于每个正数b，f(x)=
的定义域和值域都是[0，+∞）
故a=0满足条件--------------（4分）
（2）若a＞0，则对于正数b，f(x)=
的定义域为D=(-∞，-
]∪[0，+∞)，
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，即a＞0不合条件；-----------（4分）
（3）若a＜0，则对正数b，定义域D=[0，-
](f(x))max=
，
f（x）的值域为[0，
]，则-
=
?
?a=-4--（5分）
综上所述：a的值为0或-4----------（1分）
| bx |
故a=0满足条件--------------（4分）
（2）若a＞0，则对于正数b，f(x)=
| ax2+bx |
| b |
| a |
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，即a＞0不合条件；-----------（4分）
（3）若a＜0，则对正数b，定义域D=[0，-
| b |
| a |
| b | ||
2
|
f（x）的值域为[0，
| b | ||
2
|
| b |
| a |
| b | ||
2
|
|
综上所述：a的值为0或-4----------（1分）
点评：本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，函数的值域，二次函数的图象和性质，其中熟练掌握一次函数和二次函数的图象和性质是解答本题的关键，解答中易忽略a=0时，也满足条件，而错解为a=-4
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