Question

设f(x)=

ax2+bx

．
（1）当a=-1，b=4时，求函数f（e^x）（e是自然对数的底数．）的定义域和值域；
（2）求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f(ex)=

-e2x+4ex

，结合函数解析式可得-e^2x+4e^x≥0，解不等式可求函数的定义域
利用换元法，结合二次函数的性质可求函数的值域
（2）结合函数解析式的特点，考虑对a分类讨论：对①a=0，②a＞0，③a＜0三种情况分别求解函数的值域，即可进行判断

解答：（14分）解：（1）f(ex)=

-e2x+4ex

，
由-e^2x+4e^x≥0解得0＜e^x≤4，∴x≤ln4，
所以函数f（e^x）的定义域是（-∞，ln4]．…（2分）
设e^x=t＞0，则f(ex)=

-t2+4t

，
记g（t）=-t²+4t（t＞0），∴g（t）∈[0，4]，∴f（e^x）∈[0，2]，即f（e^x）的值域是[0，2]…（4分）
（2）①若a=0，则对于每个正数b，f(x)=

bx

的定义域和值域都是[0，+∞）
故a=0满足条件；             …（6分）
②若a＞0，则对于正数b，f(x)=

ax2+bx

的定义域为D={x|ax²+bx≥0}=(-∞，-

b

a

]∪[0，+∞)，
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），
故D≠A，即a＞0不合条件；           …（9分）
③若a＜0，则对正数b，f(x)=

ax2+bx

的定义域D=[0，-

b

a

]
由于此时(f(x))max=f(-

b

2a

)=

b

2 -a

，故f（x）的值域为[0，

b

2 -a

]
则-

b

a

=

b

2 -a

?

a＜0 2 -a =-a

?a=-4
综上所述：a的值为0或-4…（14分）

点评：本题主要考查了换元法求解函数的值域，二次函数性质的应用，值域的求解，体现了分类讨论思想的应用