Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，a₂=3，2a_n+1=3a_n-a_n-1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求使不等式

an-m

an+1-m

＜

2

3

成立的所有正整数m，n的值．

Answer 1

分析：（1）根据2a_n+1=3a_n-a_n-1（n≥2），则2（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1（n≥2），利用等比数列的通项公式可得a_n-a_n-1，再利用“累加求和”即可得到a_n；
（2）将通项公式a_n代入不等式

an-m

an+1-m

＜

2

3

，可求出m的取值范围，然后讨论满足条件的正整数m的值，从而求出正整数n的值．

解答：解：（1）∵2a_n+1=3a_n-a_n-1（n≥2），
∴2（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1（n≥2），
∴数列{a_n-a_n-1}是以a₂-a₁=1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
则an-an-1=(

1

2

)n-2，（n≥2），
由累加法得：a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=2+1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-2=4-(

1

2

)n-2，（n≥2），
而a₁=2也满足上式，则数列{a_n}的通项公式a_n=4-(

1

2

)n-2；
（2）不等式

an-m

an+1-m

＜

2

3

即为

4-( 1 2 )n-2-m

4-( 1 2 )n-1-m

＜

2

3

，
∴1-

m

4

＜(

1

2

)n-1＜4-m
∴1-

m

4

＜4-m，即m＜4，
当m=1时，

3

4

＜(

1

2

)n-1＜3，解得n=1，
当m=2时，；

1

2

＜(

1

2

)n-1＜2，解得n=1，
当m=3时，

1

4

＜(

1

2

)n-1＜1，解得n=2，．
∴正整数m，n的值为：

m=1 n=1

或

m=2 n=1

或

m=3 n=2

．

点评：本题考查利用累加法求数列的通项公式，以及数列与不等式的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的灵活运用．属于中档题．