Question

16．已知A∈α，P∉α，$\overrightarrow{PA}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，x）其中x＞0，且|$\overrightarrow{PA|}$|=$\sqrt{3}$，平面α的一个法向量$\overrightarrow n=（0，-\frac{1}{2}，-\sqrt{2}）$．
（1）求x的值；
（2）求直线PA与平面α所成的角．

Answer 1

分析 （1）利用$\overrightarrow{PA}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，x），|$\overrightarrow{PA|}$|=$\sqrt{3}$，建立方程，即可求x的值；
（2）计算$cos＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{PA}}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{-\frac{9}{4}}}{{\sqrt{3}×\sqrt{\frac{9}{4}}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即可求直线PA与平面α所成的角．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{PA}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，x），|$\overrightarrow{PA|}$|=$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+{x}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵x＞0，∴x=$\sqrt{2}$…（4分）
（2）由（1）得$\overrightarrow{PA}=（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，\sqrt{2}}）$，
∴$cos＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{PA}}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{-\frac{9}{4}}}{{\sqrt{3}×\sqrt{\frac{9}{4}}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（8分）
设直线PA与平面α所成的角为θ，$θ∈（{0，\frac{π}{2}}]$
故sinθ=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以直线PA与平面α所成的角θ=$\frac{π}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．