Question

6．若a＞b＞0，则a²+$\frac{2}{b（a-b）}$的最小值是4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先由基本不等式求得b（a-b）范围，代入原式，再由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞b＞0，∴a-b＞0，
∴b（a-b）≤（$\frac{b+a-b}{2}$）²=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴a²+$\frac{2}{b（a-b）}$≥a²+$\frac{2}{\frac{{a}^{2}}{4}}$=a²+$\frac{8}{{a}^{2}}$≥2$\sqrt{{a}^{2}•\frac{8}{{a}^{2}}}$=4$\sqrt{2}$
当且仅当b=a-b且a²=$\frac{8}{{a}^{2}}$即a=$\root{4}{8}$且b=$\frac{1}{2}$$\root{4}{8}$时取等号．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，先由基本不等式求出b（a-b）≤$\frac{{a}^{2}}{4}$是解决问题的关键，属中档题．