Question

【题目】已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，是直线上任意一点.证明：直线的斜率成等差数列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】分析：（1）由椭圆的离心率为，以及点M在椭圆上，结合a，b，c关系列出方程组求解即可；

（2）分过椭圆右焦点的直线斜率不存在和存在两种情况，进行整理即可.

详解：（1）；

(2)因为右焦点,

当直线的斜率不存在时其方程为，

因此，设，则，

所以且，

所以，，

因此，直线和的斜率是成等差数列.

当直线的斜率存在时其方程设为，

由得，，

所以，

因此，，

，

，

，

所以，，

又因为，

所以有,

因此，直线和的斜率是成等差数列，

综上可知直线和的斜率是成等差数列.