Question

【题目】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是轨迹上位于第一象限且在直线右侧的动点，若以为圆心，线段为半径的圆与有两个公共点．试求圆在右焦点处的切线与轴交点纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】分析：（1）由题知，原点到直线的距离，求得，再由，求得 ，即可得到椭圆的标准方程；

（2）设，由圆的方程和性质，又由椭圆的方程得，代入可得，求得，又由切线方程为，令得，令，利用二次函数的性质，即可求解得的范围，即可得到结论．

详解：（1）由题知，原点到直线的距离

又，则

∴椭圆方程为

………………4分

（2）设，点到轴的距离为，

∵圆M与y轴有两个交点，∴，

即，

∴，

又，

即，

∴，∴，

∴， ……………………7分

又，∴ ……………………8分

切线方程为，令得

令，则

……………10分

，则，在上为增函数

∴

∴切线与轴交点纵坐标的取值范围为 ……………………12分

(转化为求的斜率范围得到更为简便)

解法2：上面步骤相同

又，∴ ……………………8分

切线方程为，令得

又即

∴切线与轴交点纵坐标的取值范围为 ……………………12分