Question

5．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2¹⁰）的值等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $2+2\sqrt{2}$
• C． $2+\sqrt{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用三角函数的周期性，求得所给式子的值．

解答 解：根据函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象，
可得A=2，$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=8-4，∴ω=$\frac{π}{4}$，
∴函数的解析式为y=2sin（$\frac{π}{4}$x+φ），
再根据五点法作图可得$\frac{π}{4}•0$+φ=0，∴函数的解析式为y=2sin$\frac{π}{4}$x，
故函数的周期为$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8，
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=$\sqrt{2}$+2+$\sqrt{2}$+0+（-$\sqrt{2}$）+（-2）+（-$\sqrt{2}$）+0=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2¹⁰）=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（1024）
=128•[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）]=0，
故选：D．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，三角函数的周期性的应用，属于中档题．