Question

17．在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²cos2θ=1．直线l与曲线C交于A，B两点．
（I）求|AB|的长；
（II）若P点的极坐标为$（{1，\frac{π}{2}}）$，求AB中点M到P的距离．

Answer 1

分析 （I）曲线C的极坐标方程为ρ²•cos2θ=1，利用倍角公式可得ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，再利用互化公式即可得出普通方程．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t为参数），化为标准形式：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，代入上述普通方程可得：t²-2t-4=0．利用|AB|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．
（II）P点的极坐标为$（{1，\frac{π}{2}}）$，化为直角坐标P（0，1）．AB中点M对应的参数t=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=1，可得M$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$，可得点M到P的距离．

解答 解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ²•cos2θ=1，∴ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，即x²-y²=1．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t为参数），化为标准形式：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，
代入上述普通方程可得：t²-2t-4=0．
则t₁+t₂=2，t₁t₂=-4．
∴|AB|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{4-4×（-4）}$=2$\sqrt{5}$．
（II）P点的极坐标为$（{1，\frac{π}{2}}）$，化为直角坐标P（0，1）．
AB中点M对应的参数t=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=1，∴M$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$，点M到P的距离d=1．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用，考查了数形结合方法\推理能力，属于中档题．