Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n-1}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：数列{S_n}不是等差数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n-1}$，n∈N^*．a₂=$\sqrt{2}$-1，同理可得：a₃=$\sqrt{3}$$-\sqrt{2}$，a₄=$\sqrt{4}-\sqrt{3}$，归纳猜想：a_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：S₁=a₁=1，S₂=a₁+a₂=$\sqrt{2}$，S₃=S₂+a₃=$\sqrt{3}$，假设数列{S_n}是等差数列，则S₁，S₂，S₃成等差数列，推出矛盾．

解答 解：（Ⅰ）数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n-1}$，n∈N^*．
∴a₂=$\sqrt{2}$-1，同理可得：a₃=$\sqrt{3}$$-\sqrt{2}$，a₄=$\sqrt{4}-\sqrt{3}$，…，
归纳猜想：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：S₁=a₁=1，S₂=a₁+a₂=$\sqrt{2}$，S₃=S₂+a₃=$\sqrt{3}$，
假设数列{S_n}是等差数列，
则S₁，S₂，S₃成等差数列，
所以S₁+S₃=2S₂，
即1+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{2}$，
两边平方得$\sqrt{3}$=2
这显然不成立，所以假设错误，所以数列{S_n}不是等差数列．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．