Question

正四棱锥V-ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为2

6

，则AB两点的球面距为（　　）

• A．

  1

  9

• B．3arccos

  1

  9

• C．arccos

  1

  3

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：设球的半径为R，利用正四棱锥的性质和球的性质，结合勾股定理列方程，求得球半径，根据余弦定理和球面距离的公式，即可求得结论．

解答：解：设外接球球心为O，正方形ABCD中心为O₁，连接VO₁，则球心O在VO₁上，连接AC、OA、OB
∵正方形ABCD边长为4，∴对角线AC=4

2

，O₁A=

1

2

AC=2

2

∵VO₁⊥平面ABCD，
∴Rt△VO₁A中，VO₁=4
设外接球半径为R，则Rt△OO₁A中，OA=R，O₁O=4-R
∴R²=（4-R）²+（2

2

）²，解之得：R=3
∴△AOB中，cos∠AOB=

1

9

∴∠AOB=arccos

1

9

所以AB两点的球面距为R×∠AOB=3arccos

1

9

故选B．

点评：本题考查球内接正四棱锥，考查球面距离，确定球的半径是关键，属于中档题．