Question

14．已知$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$是同一平面内的三个向量，其中$\overrightarrow a$=（-1，2）．
（1）若|${\overrightarrow c}$|=$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow c$，求$\overrightarrow c$的坐标；
（2）若|${\overrightarrow b}$|=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow{2b}$）⊥（2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），求|2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow{c}=（x，y）$，由$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow c$，$|{\overrightarrow c}|=\sqrt{5}$列关于x，y的方程组，求解方程组得$\overrightarrow c$的坐标；
（2）由（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow{2b}$）⊥（2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），得（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow{2b}$）•（2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=0，展开后求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，然后结合$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}$求解．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{c}=（x，y）$，由$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow c$，$|{\overrightarrow c}|=\sqrt{5}$，
可得：$\left\{\begin{array}{l}y=-2x\\{x^2}+{y^2}=5\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow c=（1，-2）$或$\overrightarrow c=（-1，2）$；
（2）∵（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow{2b}$）⊥（2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），∴（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow{2b}$）•（2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=0，即$2{\overrightarrow{a}}^{2}+3\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2{\overrightarrow{b}}^{2}=0$．
∴$2|\overrightarrow{a}{|}^{2}+3\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$．
∴$2×5+3\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2×\frac{5}{4}=0$，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-\frac{5}{2}$．
∴$|{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{4{{\overrightarrow a}^2}+4\overrightarrow a•\overrightarrow b+{{\overrightarrow b}^2}}=\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是中档题．