Question

已知函数 ．
(Ⅰ)若在处的切线垂直于直线，求该点的切线方程，并求此时函数的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ) ，的单调递增区间是；单调递减区间是和；
(Ⅱ) 或.

试题分析：(Ⅰ)通过切线垂直直线可以得到切线的斜率，解出，将代入求出切点坐标，从而求出切线方程，令和分别求出函数的单调递增区间和递减区间；(Ⅱ)通过对的讨论，求出在上的最大值，令，解出的取值范围.
试题解析：(Ⅰ) ，根据题意，解得，
此时切点坐标是，故所求的切线方程是，即.
当时，，
令，解得，令，解得且，故函数的单调递增区间是；单调递减区间是和．             5分
(Ⅱ) .
①若，则在区间上恒成立，在区间上单调递增，函数在区间上的最大值为；                     7分
②若，则在区间上，函数单调递减，在区间上，函数单调递增，故函数在区间上的最大值为，中的较大者，，故当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为；                     9分
③当时，在区间上恒成立，函数在区间上单调递减，函数的最大值为.                      11分
综上可知，在区间上，当时，函数，当时，函数.
不等式对任意的恒成立等价于在区间上，，故当时，，即，解得或；当时，，即，解得.                 12分
综合知当或时，不等式对任意的恒成立．      13分