Question

若，其中.
（1）当时，求函数在区间上的最大值；
（2）当时，若恒成立，求的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，最值和不等式等基础知识，考查函数思想，分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，当时，函数解析式确定，并不是分段函数，这就降低了试题的难度，求导数，判断所求区间上函数的单调性，再求最值，第一问较简单；第二问，由于函数是分段函数，所以根据函数定义域把所求区间从断开，充分考查了分类讨论思想，求出每段范围内函数的最小值来解决恒成立问题.
试题解析：（1）当，时，，
∵，∴当时, ,
∴函数在上单调递增,
故.(4分)
（2）①当时，，，
∵，∴，∴在上为增函数，
故当时，；
②当时，，，
（ⅰ）当即时，在区间上为增函数，
当时，，且此时；
（ⅱ）当，即时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，
故当时，，且此时；
（ⅲ）当，即时，在区间上为减函数，
故当时，.
综上所述，函数在上的最小值为
由，得；由，得无解；，得无解；
故所求的取值范围是.（12分）