Question

（本小题满分16分）

已知椭圆的离心率为，一条准线．

（1）求椭圆的方程；

（2）设O为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于两点．

①若，求圆的方程；

②若是l上的动点，求证：点在定圆上，并求该定圆的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）①或 ；②设，

由①知：，消去得：=2，点在定圆=2上．

【解析】

试题分析：（1）由题设：，，，

椭圆的方程为：               ………………………… 4分

（2）①由（1）知：，设，

则圆的方程：，     ………………………… 6分

直线的方程：，             ………………………… 8分

，，  ………………………… 10分

，

圆的方程：或  …………… 12分

②解法（一）：设，

由①知：，

即：，     ………………………… 14分

消去得：=2，点在定圆=2上．……………… 16分

解法（二）：设，则直线FP的斜率为，

∵FP⊥OM，∴直线OM的斜率为，

∴直线OM的方程为：，点M的坐标为．……………14 分

∵MP⊥OP，∴,∴ 

∴=2,点在定圆=2上．     …………………………16 分

考点：本题考查了直线与椭圆的位置关系

点评：求解圆锥曲线的方程关键是求解a和b，可应用已知条件得到关于两个参量的方程或由性质直接求得.