Question

在直角坐标系xOy中，单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点P，Q在单位圆上，且满足∠AOP=

π

6

， ∠AOQ=α， α∈[0，π)．
（1）若cosα=

3

5

，求cos(α-

π

6

)的值；
（2）设函数f（α）=

OP

•

OQ

，求f（α）的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,单位圆与周期性

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）运用同角的平方关系和两角差的余弦公式，即可得到；
（2）运用向量的数量积的坐标公式和两角和的正弦公式及正弦函数的图象和性质，即可得到．

解答： 解：（1）由条件cosα=

3

5

，（0＜α＜

π

2

），
可得sinα=

4

5

，
则cos(α-

π

6

)=coaαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

4+3 3

10

；
（2）f（α）=

OP

•

OQ

=（cos

π

6

，sin

π

6

）•（cosα，sinα）
=

3

2

cosα+

1

2

sinα=sin（α+

π

3

）   
由于α∈[0，π），
则α+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

），-

3

2

＜sin（α+

π

3

）≤1，
则有f（α）的值域是（-

3

2

，1]．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．