Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中的底面是菱形，且∠DAB=∠A₁AB=∠A₁AD=60°，AD=1，AA₁=a，F为棱BB的中点，M为线段AC的中点．设=，=，=．试用向量法解下列问题：
（1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求证：直线MF⊥面A₁ACC₁；
（3）是否存在a，使平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角是30°？如果存在，求出相应的a 值，如果不存在，请说明理由．（提示：可设出两面的交线）

Answer 1

【答案】分析：（1）由：||=||=1，||=a，，，，=，=（），
=+，=（），==2，由此能证明直线MF∥平面ABCD．
（2）由=（）=0，=（）（）=0，知MF⊥AA₁，MF⊥AC，AC和AA₁是面ABCD内的相交直线，由此能证明直线MF⊥面A₁ACC₁．
（3）设平面AFC₁与平面ABCD的交线为c，两平面有一个公共点A，故A在直线c上；MF在面AFC₁内，直线MF∥平面ABCD，有MF∥直线c，由直线MF⊥面A₁ACC₁，直线AC和直线AC₁在平面A₁ACC₁内，知平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角是∠C₁AC由此能推导出不存在这样的a值，使平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角是30°．
解答：（1）证明：||=||=1，
||=a，，
，（2分）
=，
=（），
=+，
=（），（3分）
==2，
DB在面ABCD内，MF在面ABCD外，
∴直线MF∥平面ABCD；（4分）
（2）证明：=（）=0，（5分）
=（）•（）=0，（6分）
∴MF⊥AA₁，MF⊥AC，AC和AA₁是面ABCD内的相交直线，
∴直线MF⊥面A₁ACC₁；（7分）
（3）解：设平面AFC₁与平面ABCD的交线为c，两平面有一个公共点A，
∴A在直线c上；MF在面AFC₁内，直线MF∥平面ABCD，有MF∥直线c，
由2）知，直线MF⊥面A₁ACC₁，直线AC和直线AC₁在平面A₁ACC₁内，
∴MF⊥AC₁，MF⊥AC，因此，有AC₁⊥直线c，AC⊥直线c，
平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角是∠C₁AC，（10分）
假设存在这样的a，使∠C₁AC=30°，
则cos30°=cos，
=
=（12分）
整理，得方程：4a²-3a+9=0，
△=（-3）²-4×4×9=9-4×4×9＜0，方程无解，（13分）
因此不存在这样的a值，
使平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角是30°（14分）
点评：本题考查直线MF∥平面ABCD和直线MF⊥面A₁ACC₁的证明，探索a的值是否存在．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．