Question

17．已知f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）当x为何值时，f（x）取得最大值和最小值；
（3）求f（x）的对称轴及对称点；
（4）求f（x）的单调区间：
（5）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的单调区间；
（6）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的周期性、最值、单调性，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象的对称性，得出结论．

解答 解：由知f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1，可得
（1）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）当2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，即当x=kπ+$\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值为4；
当2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z时，即当x=kπ-$\frac{5π}{12}$时，f（x）取得最小值为-2．
（3）令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，可得f（x）的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，可得f（x）的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．
（4）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，
可得函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（5）由（4）可得f（x）在[0，$\frac{π}{12}$]上为增函数，在[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上为减函数．
（6）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1∈[-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，4]．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、最值、单调性，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．