Question

12．函数$y=\frac{{1+{2^x}}}{{1+{4^x}}}$的值域为（　　）

• A． $（{0，\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}}]$
• B． $（{-∞，\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}}]$
• C． （-∞，0]
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 令2^x=t（t＞0），则$y=\frac{{1+{2^x}}}{{1+{4^x}}}$=$\frac{1+t}{1+{t}^{2}}$，然后利用导数求得函数的值域．

解答 解：令2^x=t（t＞0），
则$y=\frac{{1+{2^x}}}{{1+{4^x}}}$=$\frac{1+t}{1+{t}^{2}}$，
∴y′=$\frac{1+{t}^{2}-2t（1+t）}{（1+{t}^{2}）^{2}}=\frac{1-2t-{t}^{2}}{（1+{t}^{2}）^{2}}$，
由y′=0，得t=-1$-\sqrt{2}$（舍）或t=-1+$\sqrt{2}$．
∴当t∈（0，-1+$\sqrt{2}$）时，y′＞0，当t∈（-1+$\sqrt{2}$，+∞）时，y′＜0，
∴y=$\frac{1+t}{1+{t}^{2}}$在（0，-1+$\sqrt{2}$）上为增函数，在（-1+$\sqrt{2}$，+∞）上为减函数．
∴当t=-1+$\sqrt{2}$时，y有最大值为$\frac{1-1+\sqrt{2}}{1+（-1+\sqrt{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
又当t→0⁺时，y→1，当t→+∞时，y→0．
∴$y=\frac{{1+{2^x}}}{{1+{4^x}}}$=$\frac{1+t}{1+{t}^{2}}$的值域为（0，$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$]．
故选：A．

点评 本题考查利用换元法及导数求函数的最值，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．