Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点P(1，

2

2

)，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线经过点(0，-

1

2

)，求△AOB（O为原点）面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆结果的点以及两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形，列出方程求出a，b即可求得椭圆C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）通过直线AB的斜率为0时，则AB的垂直平分线为y轴，求出三角形的面积，然后求出S_△AOB取得最大值．当直线AB的斜率不为0时，设AB的方程为y=kx+t，通过直线与椭圆联立方程组利用弦长公式以及点到直线的距离求出三角形的面积然后求出最大值．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形，
∴a=

2

b，∴

x2

2b2

+

y2

b2

=1，…（2分）
又∵椭圆经过点P(1，

2

2

)，代入可得b²=1，
∴故所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵AB的垂直平分线通过点(0，-

1

2

)，显然直线AB有斜率，
当直线AB的斜率为0时，则AB的垂直平分线为y轴，此时x₁=-x₂，y₁=y₂
∴S△AOB=

1

2

|2x1||y1|=|x1||y1|，
∵

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，
∴|x1||y1|=

2

|

x1

2

y1|≤

2

2

(

x 2 1

2

+

y

2 1

)=

2

2

∴S△AOB≤

2

2

，当且仅当|x₁|=1时，S_△AOB取得最大值为

2

2

，…（7分）
当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t
∴

y=kx+t x2 2 +y2=1

，代入得到（2k²+1）x²+4ktx+2t²-2=0…（8分）
当△=8（2k²-t²+1）＞0，即2k²+1＞t²①
方程有两个不同的解又x1+x2=

-4kt

2k2+1

，

x1+x2

2

=

-2kt

2k2+1

…（10分）
∴

y1+y2

2

=

t

2k2+1

，又

y1+y2 2 + 1 2

x1+x2 2 -0

=-

1

k

，化简得到2k²+1=2t②
代入①，得到0＜t＜2…（11分）
又原点到直线的距离为d=

|t|

k2+1

|AB|=

1+k2

|x1-x2|=2

1+k2

4k2-2t2+2

2k2+1

∴S△AOB=

1

2

|AB||d|=

1

2

|t|

k2+1

2

1+k2

4k2-2t2+2

2k2+1

=

|t| 4k2-2t2+2

2k2+1

考虑到2k²+1=2t且0＜t＜2化简得到S△AOB=

1

2

4t-2t2

…（13分） 
∵0＜t＜2，∴当t=1时，即k=±

2 2

时，S_△AOB取得最大值

2

2

．
综上，△AOB面积的最大值为

2

2

．…（14分）

点评：本题考查椭圆的定义及其性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，直线方程以及韦达定理的应用．难度比较大，解题需要一定的运算能力以及分析问题解决问题的能力．