Question

4．已知椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，过左焦点作倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线交椭圆于A，B两点．
（1）求弦AB的长．
（2）求左焦点F₁到AB中点M的长．

Answer 1

分析 （1）左焦点F（-2$\sqrt{2}$，0），直线AB方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2$\sqrt{2}$），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为4x²+12$\sqrt{2}$x+15=0，再利用弦长公式即可得出，
（2）设AB中点M的坐标为（x₀，y₀），由（1）可知，x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，y₀=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，再根据两点之间的距离公式即可求出．

解答 解：（1）左焦点F（-2$\sqrt{2}$，0），
直线AB方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2$\sqrt{2}$）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2\sqrt{2}）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为4x²+12$\sqrt{2}$x+15=0，
∴x₁+x₂=-3$\sqrt{2}$，x₁x₂=$\frac{15}{4}$，
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=18-15=3，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{3}$
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{4}{3}×3}$=2；
（2）设AB中点M的坐标为（x₀，y₀）
由（1）可知，x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
y₀=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₀+2$\sqrt{2}$）=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴|F₁M|=$\sqrt{（-2\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆相交弦长问题，两点之间的距离公式，推理能力与计算能力，属于中档题．