Question

若x=是函数f（x）=sinωx+cosωx图象的一条对称轴，当ω取最小正数时（ ）
A．f（x）在（0，）单调递增
B．f（x）在（，-）单调递减
C．f（x）在（，0）单调递减
D．f（x）在（，）单调递增

Answer 1

【答案】分析：利用辅助角公式将f（x）=sinωx+cosωx化为f（x）=2sin（ωx+），结合题意可求得ω的关系式，继而可求得ω，从而可判断函数的单调性．
解答：解：∵f（x）=sinωx+cosωx
=2sin（ωx+），
又x=是f（x）=2sin（ωx+）的图象的一条对称轴，
∴ω×+=kπ+，k∈Z，
∴ω=6k+2，k∈Z，
又ω取最小正数，
∴k=0，ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+），
由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得：
kπ-≤x≤kπ+，
∴f（x）=2sin（2x+）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]k∈Z．
显然，当k=0时，（0，）⊆[-，]．
故A正确，D不正确；
同理可求，f（x）=2sin（2x+）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]k∈Z．
当k=-1时，其递减区间为[-，-]，当k=0时，其递减区间为[，]，
显然B，C都不符合题意．
故选A．
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的对称性与单调性，求得ω的值是关键，也是难点，属于中档题．