Question

已知数列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²（t>0且t≠1），若x=是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点。
（Ⅰ）证明数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记，当t=2时，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n>2008的n的最小值；
（Ⅲ）当t=2时，求证：对于任意的正整数n，有。

Answer 1

解：（Ⅰ），
由题意，即，
∴，
∵t>0且t≠1，
∴数列是以为首项，t为公比的等比数列，
∴，
∴

以上各式两边分别相加得，
∴，
当n=1时，上式也成立，
∴；
（Ⅱ）当t=2时，，
∴

由，得，，
当时，，
当时，，
因此n的最小值为1005；
（Ⅲ）∵，
∴<。