Question

12．已知α是第一角限的角，化简$\sqrt{\frac{1+sinα}{1-sinα}}$-$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$．

Answer 1

分析 直接利用二倍角公式化简求解即可．

解答 解：α是第一角限的角，$\frac{α}{2}∈$$（kπ，kπ+\frac{π}{4}）$，k∈Z．
$\sqrt{\frac{1+sinα}{1-sinα}}$-$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$=$\left|\frac{sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}}\right|-\left|\frac{sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}}\right|$，
当$\frac{α}{2}∈$$（2nπ，2nπ+\frac{π}{4}）$，n∈Z时，上式=$\frac{sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}}-\frac{cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}}$=$\frac{2sinα}{cosα}$=2tanα．
当$\frac{α}{2}∈$$（2nπ+π，2nπ+\frac{5π}{4}）$，n∈Z时，上式=$\frac{sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}}-\frac{cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}}$=$\frac{2sinα}{cosα}$=2tanα．
综上，$\sqrt{\frac{1+sinα}{1-sinα}}$-$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$=2tanα．

点评 本题考查三角函数的化简求值，二倍角的正弦函数的应用，考查计算能力．