Question

4．已知A、B分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点、上顶点，过左焦点F₁作PF₁⊥x轴，与椭圆在x轴上方的交点为P，且OP∥AB．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设Q是椭圆上任意一点，F₂是右焦点，求∠F₁QF₂的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当QF₂⊥AB时，延长QF₂交椭圆另一点M，若△F₁MQ面积为20$\sqrt{3}$，求此时椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）把x=-c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y．取P$（-c，\frac{{b}^{2}}{a}）$．利用OP∥AB，可得k_OP=k_AB．化简即可得出．
（2）利用余弦定理与基本不等式的性质可得：Q点取短轴的一个端点时，∠F₁QF₂取得最大值．即可得出∠F₁QF₂的取值范围．
（3）k_AB=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，QM⊥AB，可得k_QM=$\sqrt{2}$，可得直线QM的方程为：y=$\sqrt{2}$（x-c），设Q（x₁，y₁），M（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：5x²-8cx+2c²=0，利用根与系数的关系可得：|QM|=$\sqrt{3[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．点F₁到直线QM的距离d．利用${S}_{△{F}_{1}QM}$=$\frac{1}{2}|QM|d$，解得c即可得出．

解答 解：（1）把x=-c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=$±\frac{{b}^{2}}{a}$．取P$（-c，\frac{{b}^{2}}{a}）$．
∴k_OP=-$\frac{{b}^{2}}{ac}$，
又k_AB=$-\frac{b}{a}$，OP∥AB．
∴k_OP=k_AB．
∴-$\frac{{b}^{2}}{ac}$=$-\frac{b}{a}$，
化为b=c．
∴c²=b²=a²-c²，
解得a=$\sqrt{2}$c．
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）设|QF₁|=m，|QF₂|=n，m+n=2a，
∴$2a≥2\sqrt{mn}$，化为$\frac{1}{mn}$≥$\frac{1}{{a}^{2}}$，当且仅当m=n=a时取等号．
cos∠F₁QF₂=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2c）^{2}}{2mn}$=$\frac{（m+n）^{2}-2mn-4{c}^{2}}{2mn}$=$\frac{2{b}^{2}}{mn}-1$≥$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$-1，
∴Q点取短轴的一个端点时，∠F₁QF₂取得最大值．
∵b=c，∴∠F₁QF₂取得最大值90°．
∴∠F₁QF₂的取值范围是（0°，90°]．
（3）∵k_AB=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，QM⊥AB，
∴k_QM=$\sqrt{2}$，
可得直线QM的方程为：y=$\sqrt{2}$（x-c），设Q（x₁，y₁），M（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：5x²-8cx+2c²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8c}{5}$，x₁x₂=$\frac{2{c}^{2}}{5}$．
∴|QM|=$\sqrt{3[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{6\sqrt{2}c}{5}$．
点F₁到直线QM的距离d=$\frac{2\sqrt{2}c}{\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{6}c}{3}$．
∴${S}_{△{F}_{1}QM}$=$\frac{1}{2}|QM|d$=$\frac{1}{2}×$$\frac{6\sqrt{2}c}{5}$×$\frac{2\sqrt{6}c}{3}$=20$\sqrt{3}$．
解得c=5．
∴此时椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{50}+\frac{{y}^{2}}{25}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、相互平行的直线斜率之间的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．