Question

如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点，请回答下列问题：
（1）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？
（2）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？
（3）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？

Answer 1

分析：（1）E，F，G，H分别为所在边的中点，说明四边形EFGH为平行四边形，利用类比推理相似比判断得到结果；
（2）E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC，判定四边形EFGH为矩形；
（3）E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC，AC=BD，判定四边形EFGH为正方形．

解答：解：（1）当E，F，G，H满足

BE

BA

=

BF

BC

=

DH

DA

=

DG

DC

时，四边形EFGH为平行四边形，
不妨以E，F，G，H分别为所在边的中点，证明如下：
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH

∥

.

1

2

BD，同理，FG

∥

.

1

2

BD．
从而EH綊FG，所以四边形EFGH为平行四边形．
（2）当E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC时，可得AC∥EF，BD∥FG，所以EF⊥FG，所以平行四边形EFGH为矩形．
（3）当E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC，可得AC∥EF，BD∥FG，所以EF⊥FG，所以平行四边形EFGH为矩形，AC=BD时
EF=FG，四边形EFGH为正方形．

点评：本题考查棱锥的结构特征及其性质，考查基本知识掌握情况，是基础题．