题目内容
已知直线y=kx-4k+1与曲线
=|y-1|-2恰有一个公共点，则实数k的取值范围是
| 1-(x-1)2 |
{
，
，
，
}
-3-
| ||
| 4 |
-3+
| ||
| 4 |
3-
| ||
| 4 |
3+
| ||
| 4 |
{
，
，
，
}
．-3-
| ||
| 4 |
-3+
| ||
| 4 |
3-
| ||
| 4 |
3+
| ||
| 4 |
分析：化简曲线方程可得曲线为2个圆，当直线和每一个圆相切时，利用点到直线的距离公式求得k的值，即可求得k的范围．
解答：解：由曲线
=|y-1|-2，可得当y≥1时，（x-1）2+（y-3）2=1，
表示一个以A（1，3）为圆心，半径等于1的圆．
当y＜1时，由曲线方程可得（x-1）2+（y+1）2=1，表示以B（1，-1）为圆心，以1为半径的一个圆．
由于直线y=kx-4k+1=k（x-4）+1 经过定点M（4，1）．
①当直线和圆（x-1）2+（y-3）2=1相切时，由圆心A（1，3）到直线的距离d=r=1=
，
解得 k=
，k=
．
②当直线和圆（x-1）2+（y+1）2=1相切时，由圆心B（1，-1）到直线的距离d′=r′=1=
，
解得 k=
，或 k=
．
根据直线与曲线
=|y-1|-2恰有一个公共点，
结合图形可得k的范围是{
，
，
，
}，
故答案为 {
，
，
，
}．
| 1-(x-1)2 |
表示一个以A（1，3）为圆心，半径等于1的圆．
当y＜1时，由曲线方程可得（x-1）2+（y+1）2=1，表示以B（1，-1）为圆心，以1为半径的一个圆．
由于直线y=kx-4k+1=k（x-4）+1 经过定点M（4，1）．
①当直线和圆（x-1）2+（y-3）2=1相切时，由圆心A（1，3）到直线的距离d=r=1=
| |k×1-3-4k+1| | ||
|
解得 k=
-3-
| ||
| 4 |
-3+
| ||
| 4 |
②当直线和圆（x-1）2+（y+1）2=1相切时，由圆心B（1，-1）到直线的距离d′=r′=1=
| |k×1+1-4k+1| | ||
|
解得 k=
3+
| ||
| 4 |
3-
| ||
| 4 |
根据直线与曲线
| 1-(x-1)2 |
结合图形可得k的范围是{
-3-
| ||
| 4 |
-3+
| ||
| 4 |
3-
| ||
| 4 |
3+
| ||
| 4 |
故答案为 {
-3-
| ||
| 4 |
-3+
| ||
| 4 |
3-
| ||
| 4 |
3+
| ||
| 4 |
点评：本题主要考查圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
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