Question

已知直线y=kx-2k-1与曲线y=

1

2

x2-4

有公共点，则k的取值范围是（　　）

• A．（-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ]∪（0，+∞）
• B．（-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ]∪（

  1

  2

  ，+∞）
• C．（-

  1

  2

  ，-

  1

  4

  ）∪（

  1

  2

  ，+∞）
• D．（-

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：易知该直线过定点A（2，-1），作出曲线y=

1

2

x2-4

的草图，易知该曲线为双曲线的一部分，结合渐进线方程，利用数形结合可得答案．

解答：解：由y=kx-2k-1得y+1=k（x-2），该直线过定点A（2，-1），
由y=

1

2

x2-4

得

x2

4

-y2=1（y＞0），作出草图如下：
k_AB=-

1

4

，由图知，当直线与曲线y=

1

2

x2-4

有公共点时，-

1

2

＜k≤-

1

4

或k＞

1

2

，
所以，k的取值范围为（-

1

2

，-

1

4

]∪（

1

2

，+∞）．
故选B．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生数形结合思想及简单运算能力．