题目内容
已知直线y=kx+m与抛物线y2=2x交于A，B两点，且|O
+O
|=|O
-O
|（其中O为坐标原点），若OM⊥AB于M，则点M的轨迹方程为（ ）
| A |
| B |
| A |
| B |
分析：根据向量数量积的运算性质，算出O
•O
=0，可得OA⊥OB．由此设抛物线上A、B两点的坐标，根据直线方程的两点式化简，得到直线AB经过定点C（2，0）．因此满足OM⊥AB的点M在以OC为直径的圆上，结合圆方程的求法即可算出本题答案．
| A |
| B |
解答：解：∵|O
+O
|=|O
-O
|
∴两边平方，整理得O
•O
=0，可得OA⊥OB
设A（
t2，t），可得B（
，-
）
∴直线AB的方程为
=
，
令y=0，得x=2，因此直线AB经过定点C（2，0）
∵OM⊥AB于M，
∴M的轨迹是以OC为直径的圆，圆心为（1，0），半径r=1
此圆的方程为（x-1）2+y2=1，即为所求的轨迹方程
故选：B
| A |
| B |
| A |
| B |
∴两边平方，整理得O
| A |
| B |
设A（
| 1 |
| 2 |
| 8 |
| t2 |
| 4 |
| t |
∴直线AB的方程为
| y-t | ||
-
|
x-
| ||||
|
令y=0，得x=2，因此直线AB经过定点C（2，0）
∵OM⊥AB于M，
∴M的轨迹是以OC为直径的圆，圆心为（1，0），半径r=1
此圆的方程为（x-1）2+y2=1，即为所求的轨迹方程
故选：B
点评：本题在抛物线中求动点M的轨迹方程，着重考查了抛物线的几何性质、圆的标准方程和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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已知直线y=kx+1与椭圆
+
=1恒有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
| x2 |
| 5 |
| y2 |
| m |
| A、m≥1 |
| B、m≥1，或0＜m＜1 |
| C、0＜m＜5，且m≠1 |
| D、m≥1，且m≠5 |
（其中O为坐标原点），若OM⊥AB于M，则点M的轨迹方程为（ ）