Question

已知数列各项均为正数，，且对于正整数时，都有。
（I）当，求的值，并求数列的通项公式；
（II）证明：对于任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有。

Answer 1

解：（I）令，则
将代入上式，得（*）
∴，，
且，
故为等比数列，且，
∴，∴。
（II）由题设值仅与有关，设为。
则，
考察函数，则在定义域上有

故对恒成立，又，
注意到，解上式得
，
取，即有。

略