Question

已知椭圆E：的焦点坐标为（），点M（，）在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q（1，0），过Q点引直线与椭圆E交于两点，求线段中点的轨迹方程；

Answer 1

(1)  (2)．

试题分析：解: （Ⅰ）∵椭圆E: （a,b>0）经过M（-2，） ，一个焦点坐标为（）,
∴ ，椭圆E的方程为；     5分
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线与椭圆E的两个交点为A（），B（），相交所得弦的中点，∴ ，
①-②得，，
∴弦的斜率，
∵四点共线，∴，即，
经检验（0，0），（1，0）符合条件，
∴线段中点的轨迹方程是．    12分
点评：解决该试题的关键是对于性质的准确表示得到a,b,c的值，进而得到方程，同时联立方程组结合韦达定理以及斜率公式求解得到轨迹方程，属于中档题。